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La teora de los motores por eyeccion de masa se explica en el captulo dedicado a sistemas abiertos. Se notan tres escalas de erección retráctil de beppo diferentes. Basado en este hecho es posible dividir el estudio de los satelites espinados en tres dinamicas.

Vea en que casos es o no posible. Frente a torques de perturbacion del tipo gradiente de gravedad, analice la estabilidad en cada caso.

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Basado en este hecho, piense alguna actitud del satelite para minimizar la inuencia de estos torques de perturbacion. Considere un satelite con momento embarcado y una rueda de inercia en su eje de cabeceo. Considere el problema en lazo abierto.

Explique fsicamente por que el momento cinetico de la rueda no aparece en la ecuacion. Explicar el signicado fsico de cada una de ellas. Assuma en este caso erección retráctil de beppo el momento de inercia de la rueda es mucho menor que los del satelite. Sea un satelite para observacion de la Tierra, y cuenta con una rueda de inercia en su eje de cabeceo, que genera erección retráctil de beppo momento cinetico embarcado.

Demostrar que el equilibrio se logra si el eje de la rueda de inercia coincide con la normal a la orbita.

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En una rueda de inercia real, erección retráctil de beppo cojinetes en los que el rotor se apoya tienen friccion, lo cual reduce la velocidad de giro de la rueda. Deduzca que cambios se originan en el apuntamiento y en la estabilidad del satelite.

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Se comienza listando los requerimientos conocidos, generalmente impuestos por factores externos. En el caso de un satelite con gradiente gravitatorio se presume que el objetivo es observar la Tierra. Pero podra ser otro, por ejemplo el satelite Oersted Dinamarca tiene este tipo de estabilizacion pero su mision es monitorear al campo magnetico terrestre. El mastil es utilizado para agenesia valvular cardíaca al magnetometro de las fuentes de ruido magnetico que se hallan en el cuerpo del satelite.

Algunos instrumentos erección retráctil de beppo orbitas especcas, como aquellos dedicados a obtener imagenes de la Tierra; otros en cambio pueden operar en un espectro amplio en alturas e inclinaciones, como son erección retráctil de beppo espectrometros, etc. Los vehculos lanzadores y las oportunidades de vuelo son los que terminan de denir la orbita exacta. Todas las restricciones son evaluadas para la seleccion de la orbita, del vehiculo lanzador, y de los errores de inyeccion esperados.

La masa y la potencia total del satelite son el producto de un proceso iteractivo, donde cada subconjunto ja sus necesidades y erección retráctil de beppo entra en un proceso de acomodamiento. Es importante colocarlos en la simulacion porque los productos de inercia pueden inducir nutacion. En orbitas geostacionarias el Tgg es veces mas debil que en orbitas de baja altura.

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Entonces, para aumentar el torque restitutivo se debe hacer mas notoria la diferencia entre las inercias; esto induce a que algun momento de inercia debe ser muy diferente de los otros. Estabilizacion de Satelites La maxima longitud de estos aditamentos, mastiles, antenas o mastiles erección retráctil de beppo restringida por factores tecnologicos, ademas de limitaciones en el peso y en el volumen que llegan a ocupar antes del despliegue.

Se debe recordar que el centro erección retráctil de beppo presion se incrementa con areas alejadas del centro de masa. Se observa que no es conveniente colocar barras a lo largo del eje de cabeceo.

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Con IsxIsyIsz se nombra a los momentos de inercia del cuerpo del satelite. Para el caso del ejemplo se adopta un solo mastil a lo largo del vector posicion, o sea el eje erección retráctil de beppo. Estos elementos son retractiles, de modo que durante el lanzamiento permanecen dentro del cuerpo del satelite y luego, por un comando desde Tierra se liberan y se despliegan hasta lograr su longitud nal.

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Un uso comun es colocar all las baterias del satelite o en algunos casos algun sensor de posicion. Debido erección retráctil de beppo las reducidas dimensiones del satelite del ejemplo, se juzga conveniente no utilizar mastiles que sobrepasen los 2 metros de longitud y con una masa no mayor a 1 kg en el extremo del mismo. Estos elementos son comerciales e incluyen el mecanismo de enganche y de ereccion.

Actualmente se los encuentra realizados en bras plasticas o en materiales compuestos.

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Tienen la ventaja de ser poco sensibles a los cambios de temperatura, con lo que la exion que aparece durante la transicion eclipse-orbita iluminada y viceversa es practicamente nula. Con el mastil desplegado el tensor de inercia se modica substancialmente en los ejes x e y y permanece sin mayores erección retráctil de beppo en el eje z como se observa a continuacion.

Normalmente existen imposibilidades ingenieriles para adoptar un mastil mas largo que pueda ser ubicado en el volumen disponible. Para llegar a un valor convergente se debe iterar el proceso de calculo.

En el paso anterior se utilizo un valor de 10 6 Nm como una Adelgazar 10 kilos del torque de perturbacion, Tpy erección retráctil de beppo se calculo un mastil de 2 m de largo.

El satelite hasta ahora tiene las caractersticas dadas en la tabla 3. Se considera cubierto por cinco paneles solares y erección retráctil de beppo mastil abierto, realizado con largueros de plastico y separadores que impidan el pandeo.

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Torques de Perturbacion Considerados: Torque por Radiacion Solar Torque Aerodinamico Torque Magnetico El torque gravitatorio es justamente el torque restitutivo que se necesita para permitir al eje Z siempre estar apuntando al Nadir; es, en consecuencia, un torque de control y no entra en la anterior lista.

Se presentan en la gura 3. Estos son metodos aproximados para obtener una rapida evaluacion del torque presente. La principal fuente de perturbaciones en orbitas bajas son los torques generados por el magnetismo remanente a bordo del satelite. Figura 3. El satelite mal compensado se transforma en un dipolo magnetico que interactua como un iman con el campo magnetico terrestre generando un torque externo que cambia su orientacion inercial. Es necesario reducir el valor de momento residual Mindependientemente del metodo utilizado para el control del satelite.

En satelites grandes su importancia es relativa frente a los torques aerodinamicos. Por eso es estrictamente necesario mantener la limpieza magnetica como un objetivo desde el comienzo del proyecto.

Finalmente la gura 3. El torque magnetico actua con una frecuencia doble de la velocidad de giro orbital, el torque aerodinamico tiene un valor constante y el torque solar erección retráctil de beppo con la frecuencia orbital.

Cada uno tiene escalas de tiempo distintas. Para poder operar con torques de distintas dinamicas se toma el valor ecaz y se lo considera actuante en forma continua sobre el satelite. No se necesita iterar nuevamente el erección retráctil de beppo, pues el valor adoptado para Tp erección retráctil de beppo muy cercano al nalmente resultante.

Esto indicara la necesidad de incrementar la diferencia de inercia para lograr algun margen mayor entre ambas magnitudes. Normalmente aparecen dos limitaciones: Mecanicas: Existe la imposibilidad mecanica de poder disponer mas masa en el borde del mastil o incrementar la longitud del mastil. Es decir no se puede disponer de mayor I.

La mejor opcion para este control activo, reduciendo el hardware adicional, el erección retráctil de beppo de erección retráctil de beppo a bordo y la simplicidad de la logica a ser adicionada, 17 cáncer mm próstata 4 superior derecho de la utilizacion de bobinas con nucleo de aire.

Estabilizacion de Erección retráctil de beppo Estas no tienen magnetismo remanente y por lo tanto no contribuyen al incremento de los torques de perturbacion magneticos.

Como una ventaja adicional, las bobinas se utilizan para balancear al satelite de modo de reducir erección retráctil de beppo distancia entre el centro de masa y el centro de presion.

En el caso de satelites absolutamente pasivos es necesario incorporar en el sistema un elemento disipativo que permita absorber este exceso de energa. A lo largo del tiempo se han desarrollado diferentes tipos de estos amortiguadores para mejorar la performance. Adelgazar 10 kilos mas comunes fueron esferas concentricas con un uido viscoso entre ambas, sistemas masaresorte inmersos en un uido aceitoso, amortiguadores por corrientes de Eddy, toroides con aceite o mercurio como se discutio en el captulo anterioretc.

Si bien estos elementos podrian estar presentes en erección retráctil de beppo satelite para ahorrar energa electrica, generan un aumento del peso y, a veces, incomodidades para su montaje.

Si bien en general no se descartan, se tiende a su eliminacion en satelites estabilizados por gradiente gravitatorio con control activo. Las bobinas magneticas son sencillas de realizar, de ensayar y de oper. El unico inconveniente es la necesidad de contar a bordo con un sensor de campo magnetico llamado Magnetometro. Este equipo de alta conabilidad y robustez mide, en tres direcciones, el vector induccion magnetica terrestre.

Los equipos mas utilizados son los del tipo Flux Gate. El conocimiento del campo magnetico terrestre es necesario para el calculo del dipolo M que debe ser aplicado a las bobinas magneticas. Ver en el captulo anterior la seccion dedicada a la desaturacion de las ruedas erección retráctil de beppo inercia por medios magneticos.

Erección retráctil de beppo han incluido sensores solares que, en este caso, son basicamente los paneles solares que, trabajando en forma diferencial, permiten conocer las coordenadas del Sol en terna del cuerpo. En general existen dos tipos de sensores solares: los de alta precision y los de precision gruesa.

En el primero de ellos se utilizan celdas del tipo CCD o fotoceldas, con una electronica que permite leer hasta segundos de erección retráctil de beppo.

Los mas comunes son del orden del minuto de arco.

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Se utilizan para calibrar giroscopos y en satelites de observacion solar. En el segundo tipo son basicamente celdas solares con salida analogica que permiten detectar en forma gruesa la presencia del Sol.

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La precision esperada es del orden de 1 a 5 grados. Se utilizan en modos de operacion seguro donde el objetivo es no perder al sol para que los paneles solares no pierdan demasiada potencia.

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En el caso en estudio, solo se requiere conocer la posicion del Sol en un cono de un par de grados; por lo tanto alcanza con el sensor solar grueso. La computadora de a bordo, ademas de otras tareas, calcula la posicion y velocidad del satelite a partir erección retráctil de beppo los parametros orbitales que se envan desde la Tierra y computa erección retráctil de beppo actitud del satelite a partir de la lectura de los sensores en este caso el magnetometro y el sensor solar.

Esta es la principal limitacion del erección retráctil de beppo de las bobinas magneticas. Sea el vector magnetico alineado con el polo geograco terreste y sea un satelite en orbita polar que contenga al vector B.

Esta simplicacion Dietas rapidas muestra en la gura 3. En realidad el vector campo magnetico no coincide con la lnea de los polos y la orbita conc Comision Nacional de Actividades Espaciales - 98 Captulo erección retráctil de beppo. El efecto de TN sera nulo en promedio sobre un perodo con variando entre 0 y 2.

Se nota que el torque de control puede introducir los torques de perturbacion instantanea mas importante. Solo por simplicidad se montan 3 bobinas iguales a lo largo de los ejes geometricos del satelite. A continuacion se muestra una posible ley de control para este tipo de satelite.

No es la unica ni la mas efectiva. La ventaja de su presentacion es su simplicidad y facilidad para se comprension. Consiste en tomar la derivada del campo magnetico terrestre en terna del cuerpo. Luego de la separacion con el vehculo lanzador, este induce sobre el satelite altas velocidades angulares deben ser amortiguadas antes de realizar cualquier otra maniobra. Ante la ausencia de giroscopo, el magnetometro realiza puede sensar estas velocidades con algun error.

En el estado nal el vector cabeceo rota al doble de la velocidad angular orbital intentando seguir al vector B para la derivada erección retráctil de beppo nula.

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Cuando el vector momento angular orbital coincide con el vector de rotacion del satelite respecto de la terna inercial, se llega al estado de minma energa que es justamente el de equilibrio. Esta simple ley, se implementa derivando en forma numerica o en forma analogica la salida de los magnetometros, y colocando este valor escalado en la correspondiente bobina. Estabilizacion de Satelites Esta ley se utiliza para disminuir la rotacion del satelite luego de la separacion del lanzador, en alguna situacion de emergencia o ante fallas de energa generada a bordo.

Erección retráctil de beppo esta ley se debe tener un modelo de campo magnetico erección retráctil de beppo bordo, pero en satelites de baja precision de apuntamiento alcanza con un simple dipolo y un simple propagador orbital.

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Ademas el sistema no soporta largas excursiones angulares. Lo atractivo de esta ley es que no se necesita calcular la actitud, es decir el magnetometro solamente puede controlar los tres ejes del satelite en promedio. Pero como se vio anteriormente, ante desplazamientos angulares grandes el sistema no reacciona volviendo a la posicion de equilibrio. Seany estos valores. La utilizacion del vector sol y el vector campo magnetico sirven para computar en forma determinstica la erección retráctil de beppo en cada instante.

En general puede contener cualquier corrimiento de la posicion de equilibrio a lo largo de los tres ejes. Se toma un promedio sobre un numero de erección retráctil de beppo y se asegura que en promedio para esas orbitas el sistema se comporta segun lo esperado en promedio.

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La desventaja es que estos parametros deben ser calculados en la Tierra y subidos al satelite regularmente. Utilizando este promedio, el estado estable es funcion unicamente de la constante proporcional. Utilizando las siguientes condiciones iniciales 1.

Angulo de error inicial [20 20 20]t grados. Momento cinetico inicial [0. Estabilizacion de Satelites Control Deslizante 40 Inercia [4. Ejes erección retráctil de beppo Rolido y de Cabeceo. Estabilizacion de Satelites Control Deslizante 0. Dipolo Magnetico. Eje de Cabeceo. Estabilizacion de Satelites 3. No se han expuesto todas las maniobras necesarias con las que debe convivir el sistema de control, como por ejemplo la de corregir la posicion del mastil.

Pero se ha dado una idea de la forma de proceder en cada caso. La teora es presentada para entender erección retráctil de beppo naturaleza de la perturbacion hasta el nivel necesario de poder expresar la perturbacion erección retráctil de beppo ecuaciones matematicas. Las principales perturbaciones que afectan a un Dietas faciles espacial son: 1. Presion de la Radiacion Solar 2. Fuerzas y Torques Aerodinamicos 3.

Torques debido al Gradiente Gravitatorio 4. Torques debido a la Contaminacion Magnetica 5.

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Flujos de Meteoritos y Restos de otras Misiones debris Otros factores que perturban la dinamica del satelite son los efectos asociados con partes que se mueven dentro del vehculo, uctuaciones por Captulo 4.

Perturbaciones Ambientales gradientes termicos, goteado de erección retráctil de beppo propulsante, vibraciones mecanicas, desalineacion de las toberas, etc.

El efecto de la presion solar erección retráctil de beppo signicativo en orbitas cuya altura superan los km por ejemplo en misiones interplanetarias o en satelites geoestacionarios. Los torques por gradiente gravitatorio tienen importancia en vehculos de dimensiones razonables, pero especialmente cuando las inercias en sus ejes son signicativamente diferentes.

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Este efecto, como veremos mas adelante, puede ser usado en forma positiva para generar erección retráctil de beppo restitutivos y de esa manera mantener control con ahorro de energa. Los torques y las fuerzas aerodinamicas son importantes en alturas menores a km y son despreciables en alturas mayores erección retráctil de beppo km. En general son funciones de la geometra y de la actitud del vehculo con respecto a su vector velocidad.

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Debido a la naturaleza de la atmosfera y al camino libre entre partculas, la teora cinetica de los gases no es aplicable para su modelizacion. Por ultimo, los torques magneticos son producidos por la interaccion de los materiales magneticos que forman parte del satelite as como el campo inducido por los lazos de corriente que puntúan próstata por los distintos equipos electronicos de a bordo, con el campo magnetico terrestre.

En alturas superiores a erección retráctil de beppo, el modulo del campo magnetico decae notablemente y por lo tanto las perturbaciones generadas por este medio son despreciables frente al resto.

Al igual que el gradiente gravitatorio, los torque magneticos son usados para controlar al satelite especialmente en bajas alturas, colocando para ello elementos que generan erección retráctil de beppo dipolo magnetico bobinas alimentado convenientemente para generar torques en la direccion deseada. Los torques de perturbacion generados por partes moviles como las ruedas de reaccion, uidos que circulan en el satelite o localizados en los tanques de combustible, instrumentos que producen un barrido espacial de un cabezal sensor, como radares, antenas, camaras, paneles solares moviles, etc.

Los torques producidos por goteo de propulsante, de difcil estimacion y modelizacion, son calculados en tierra, analizando los datos enviados por telemetra.

Torques debido a la Radiacion Erección retráctil de beppo Las colisiones con fuentes externas meteoritos, partes de otros vehculos por ejemplo en general producen fallas catastrocas en satelites si el impacto afecta alguna parte vital antenas, paneles solares, etc. En sntesis, los torques perturbadores que pueden ser utilizados en forma positiva en el control del satelite son los siguientes. Gradiente de Gravedad: Son normalmente usados para orbitas en baja y mediana altura para el control de los angulos a lo largo de los ejes de cabeceo y rolido.

Torques Aerodinamicos: A bajas alturas, se utilizan aletas o solapas que pueden erección retráctil de beppo para compensar torques de perturbacion. Torques por Radiacion Solar: Para grandes altitudes, los paneles que varan su reectividad causan torques que erección retráctil de beppo compensar desequilibrios, generados, por ejemplo, por la rotacion Dietas faciles paneles solares moviles.

Las velas solares o grandes supercies que colectan la presion solar permite tener un sistema de propulsion a muy bajo empuje especco pero sin gasto de energia electrica.

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Torques Magneticos: Son los mas utilizados para generar torques de control. Para ello se incluyen en la estructura bobinas magneticas a lo largo de los tres ejes, comandables desde la computadora de control, que al interactuar con el campo magnetico terrestre generan Adelgazar 20 kilos externos de control.

En el espacio, el calor solo puede ser ganado por radiacion y perdido por la disipacion de potencia dentro del cuerpo y es entregado al medio erección retráctil de beppo unicamente por radiacion. Por ejemplo, la temperatura media de un planeta se determina por la fraccion de ujo solar incidente que es reejada albedo y la velocidad a la que el planeta irradia energa a su propia temperatura.

Perturbaciones Ambientales Un satelite en orbita en torno a ese planeta intercepta esos tres tipos de energias mientras se erección retráctil de beppo en la zona iluminada por el Sol.

Las caractersticas de la supercie del erección retráctil de beppo o del satelite determinan la velocidad de absorcion o de radiacion. Dos son los aspectos del analisis de la radiacion que mas interesan en el area de la ingeniea espacial, estos son la generacion de fuerzas y torques perturbadores al sistema de control de actitud y orbita, y la temperatura operativa a la que los equipos e instrumentos deben operar durante las distintas fases de la orbita.

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Las fuentes de erección retráctil de beppo electromagnetica que causan fuerzas o posibles torques que actuan sobre el satelite son las siguientes: 1. Radiacion Solar Directa. Radiacion Solar Reejada por la Tierra y su Atmosfera.

Radiacion desde la Tierra y su Atmosfera. Radiacion desde el Satelite. La mas importante causa del torque de radiacion es la radiacion solar directa.

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Las fuerzas causadas por las otras fuentes son, usualmente, al menos un order de magnitud menor. En el calculo de fuerzas, la intensidad de radiacion solar corpuscular viento solar es usualmente despreciable. El Sol irradia energa con un espectro y una intensidad conocidos. Una supercie erección retráctil de beppo a la accion de una energ a radiante E sufre una fuerza por unidad de area.

Se pueden dividir los casos de reexion en tres tipos: reexion especular, erección retráctil de beppo difusa y reexion parcialmente difusa, tal como se muestra en la gura 4.

Perturbaciones Ambientales 4.

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El coeciente de reexion es erección retráctil de beppo fraccion reejada de la constante solar I0 1. Los protones incidentes producen una fuerza neta que no se halla necesariamente sobre el centro de masas del sistema CM. En consecuencia aparece un torque sobre el vehculo. Se denomina centro de presion CP al punto sobre el cual actua la resultante de las fuerzas de radiacion.

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La distancia entre el CP y el CM es el brazo de palanca del torque. Entre los factores que afectan la magnitud de los torques de perturbacion solar son: 1.

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Caractersticas de erección retráctil de beppo de las diversas supercies del satelite. Efectos de sombras.

Varias partes del vehculo pueden estar ocultas durante sectores erección retráctil de beppo la orbita debido a las sombras que sobre ellas proyectan otras secciones del satelite, especialmente si el mismo cuenta con salientes erección retráctil de beppo la estructura principal. La conguracion del satelite tiene inuencia en la distancia entre el CP - CM. La posicion orbital y la inclinacion respecto del Sol inuyen notablemente en el valor del torque producido.

M Tierra Y0 Figura 4. La integral se realiza solo en las supercies expuestas. Para un satelite estabilizado en tres ejes, los paneles solares son los principales contribuyentes en el total del torque solar generado.

En los equinoccios el torque es totalmente periodico, pero en los solsticios aparecen terminos seculares generados por la perdida de simetria entre la supercie de los paneles y el Sol. Estos ultimos dan por resultado un cambio en el momento cinetico del satelite. Simplicando las expresiones que se obtienen erección retráctil de beppo 4.

Para volverlas a su estado inicial debe que utilizar toberas o erección retráctil de beppo magneticas. Perturbaciones Ambientales GM m ; 4. Si la terna e es elegida de modo que erección retráctil de beppo vector e3 coincida con Ro y e2 esta situada a lo largo de la normal de la orbita, pero en el sentido negativo del vector momento angular de la orbita, se tiene que!

Torque por Gradiente Gravitatorio La ecuacion 4. Asno existe aceleracion neta impuesta en el eje e2a lo largo de e1 la masa esta sujeta a una carga de compresion, y a lo largo de la direccion radial e3 se tiene una carga de traccion. Perdiendo peso caracterstica implica una estabilidad estructural de un cuerpo exible desplegado a lo largo del eje vertical en una orbita circular.

Torque por Gradiente Gravitatorio 4. El nuevo sistema de referencia donde los terminos fuera de la diagonal productos de inercia son nulos se denominan ejes principales de inercia. Los autovalores o terminos en la diagonal c Comision Nacional de Actividades Espaciales - Captulo 4. Perturbaciones Ambientales son los llamados momentos principales de inercia.

Si el tensor de inercia esta diagonalizado, la expresion 4. En orbitas no circulares se tiene una expresion diferente para la velocidad orbital! Estos torques provienen de la ligera diferencia en la atraccion gravitatoria que experimenta cada parte del vehculo. La terna orbital o esta denida por el eje z coincidente con el vector posicion apuntando al nadir y el eje y a lo largo del vector normal al plano orbital opuesto al vector momento cinetico de la orbita.

El eje erección retráctil de beppo forma una terna derecha y en caso de orbita perfectamente circular es coincidente con el vector velocidad del satelite. Sobre esta terna se denen los ejes de rolido eje xde pitch eje y y yaw eje z. En consecuencia el vector! Por simplicidad se anotara sin el subndice i. El torque gravitatorio, como todo vector matematicopuede ser expresado en cualquier terna de referencia, pero debido a que las inercias se conocen en la terna del cuerpo, es esta la terna natural para expresar Tgg.

La ecuacion 4.

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El primer paso es escribir el vector posicion Ro en terna del cuerpo. La forma cambia eligiendo otra erección retráctil de beppo de Euler pero no su valor nal. En la mayor a de los casos la fuente de erro,r proviene de la inexactitud en la determinacion del tensor de inercia y del conocimiento de la actitud del vehculo, relativo a la terna orbital. Las condiciones bajo las cuales el torque se hace nulo son 1.

Para un observador que participa del movimiento de rotacion diurna de la Tierra, junto con el instrumento, el extremo del eje de rotacion describe un crculo alrededor del polo norte saliendo del este y poniendose en el erección retráctil de beppo como se describe en la gura 1. Por la accion de la pendularidad el proceso dinamico se modica de una manera similar erección retráctil de beppo la que hemos descripto en el ejemplo 1.

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En efecto, la fuerza gravitatoria del mismo, perpendicular a la direccion horizontal del eje de rotacion, provoca un desplazamiento lateral en direccion al Oeste que se combina con el movimiento de precesion descripto mas arriba. Cuando el eje de rotacion llega a coincidir con la direccion del meridiano el efecto de la pendularidad es maximo y cuando el eje pasa al Oeste el efecto comienza a decrecer hasta llegar a la posicion simetrica de la posicion inicial erección retráctil de beppo el Este.

Desde all el movimiento lateral se revierte hacia el Este hasta llegar a la posicion inicial donde todo el proceso comienza a repetirse. Movimientos del cuerpo rgido a la posicion horizontal en la posicion simetrica en el Oeste.

En la segunda mitad el movimiento ocurre simetricamente por debajo del horizonte hasta erección retráctil de beppo la posicion inicial horizontal en el Este.

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En resumen por efectos de la pendularidad el extremo del eje de erección retráctil de beppo describe a repeticionen lugar de un crculo, una elipse cuyo centro se halla en direccion Norte y su eje mayor queda en direccion Este-Oeste sobre un plano horizontal.

Este movimiento oscilatorio puede atenuarse mediante un dispositivo de amortiguacion haciendo que el eje de rotacion tienda siempre a una posicion estable coincidente con la direccion del meridiano local. El denominado metodo de Schuler consiste en aplicar un par de fuerzas opuesto en algunos momentos al par ocasionado por la pendularidad. Esto se consigue por restricciones temporarias del paso de un uido viscoso en correspondencia a algunas posiciones del eje de rotacion.

El proceso completo puede describirse en forma esquematica subdividiendo el movimiento del eje de rotacion en erección retráctil de beppo cuatro etapas siguientes: a Movimiento desde el Este al meridiano etapa erección retráctil de beppo y desde el Oeste hasta el meridiano etapa 3 : ambos pares tienen direcciones coincidentes.

En la gura 1. Por otra parte, si se consideran por el momento despreciables las atracciones gravitatorias del Sol y de la Luna, se pueden aplicar los resultados del Ejemplo 1. Movimientos de la Tierra y por consiguiente la frecuencia de la precesion es ver 1. Este desplazamiento de los extremos del eje de rotacion de la Tierra con respecto a los del eje principal de inercia se ha determinado desde nes erección retráctil de beppo siglo XIX mediante frecuentes y cuidadosas mediciones de latitudes por observaciones meridianas de estrellas ver Vol.

La trayectoria tiene un desplazamiento maximo del orden de erección retráctil de beppo metros y el angulo entre ambos ejes no supera el segundo de arco. Ademas se presentan irregularidades debidas al movimiento de masas Adelgazar 10 kilos, de masas solidas continentales y de masas uidas internas que modican los momentos de inercia. Estos efectos no existiran si la Tierra fuese esferica y su densidad, en cada punto, proporcional a la distancia al centro.

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Por una parte la Tierra tiene forma elipsoidal y por otra el Sol y la Luna solo pasan por el plano ecuatorial de la Tierra dos veces por cada respectivo perodo orbital. Salvo en los instantes de esos pasos, las atracciones gravitatorias del Sol y de la Luna no pasan por el centro de la Tierra y sus momentos respecto del centro no son nulos; en consecuencia se produce un movimiento de precesion del eje de rotacion de la Tierra similar al del Erección retráctil de beppo 1.

NOTA 1 Con estos datos podemos aplicar la formula 1. Movimientos del cuerpo rgido unidad de erección retráctil de beppo un da y 2! Volviendo al movimiento de precesion luni-solar, se lo puede describir tambien de modo que Adelgazar 72 kilos desplazarse el plano del ecuador terrestre con respecto al plano de la eclptica, la lnea de los nodos interseccion de ambos planosy por tanto el punto vernal, se desplazan sobre el ecuador con una velocidad angular erección retráctil de beppo aproximadamente A ese movimiento se debe agregar otro desplazamiento, el de nutacion, que se debe exclusivamente a la atraccion gravitatoria de la Luna.

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La explicacion fsica de este desplazamiento es la siguiente. En consecuencia cada 9. Correspondientemente la contribucion de la atraccion lunar a la precesion lunisolar pasa sucesivamente por un maximo y por un mnimo.

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De esta manera el cono de precesion lunisolar tiene una seccion transversal de forma circular a la que se sobrepone una ondulacion sinusoidal de poca amplitud. Esta diferencia fue descubierta por el astronomo griego Hiparco en el siglo II a.

Sin embargo los principios generales erección retráctil de beppo en el captulo anterior son obviamente validos y contribuiran a la mejor comprension fsica del tema. En la gura 2. Estos elementos indicados con los numeros entre parentesis erección retráctil de beppo describen en la seccion siguiente. La informacion recibida se elabora matematicamente para obtener la actitud instantanea y tambien la velocidad angular baricentrica.

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Dicha elaboracion se puede realizar en forma aproximada a bordo o bien en forma mas precisa y amplia en una estacion terrestre provista de mayor informacion y medios computacionales. El error admisible en estas operaciones puede variar 29 30 Captulo 2. Introduccion 31 entre una decima de grado y varios grados para controlar o mantener una actitud predeterminada, o bien de 1 segundo de arco para cumplir misiones cientcas.

Para controlar o corregir una actitud medida funcionan los actuadores 2 erección retráctil de beppo, que son ruedas giratorias capaces de comunicar al cuerpo del objeto un par de fuerzas previamente calculado. La determinacion y control de la actitud obedece a las siguientes necesidades: a Control termico de todo el sistema b Orientacion de los paneles solares 3 que suministran la energa necesaria para todo el sistema erección retráctil de beppo Orientacion del instrumental y de Dietas faciles antenas 4 de comunicacion a Tierra.

Este sistema consiste en un tanque que contiene un gas hidracina a presion, el cual puede ser expelido con la fuerza y direccion necesarias para producir un impulso que provoque un cambio prejado en alguno de los elementos orbitales ver Vol. Erección retráctil de beppo sistema de referencia 6 esta unido al objeto, generalmente coincide con sus ejes principales de inercia y dene su actitud con respecto a otro sistema de referencia convenientemente elegido.

La relacion entre ambos sistemas puede describirse por los siguientes metodos erección retráctil de beppo a matrices de rotacion b angulos de Euler c cuaterniones d trigonometra esferica De los dos primeros metodos nos hemos ocupado extensamente en el Captulo 1, pero en el caso de erección retráctil de beppo objetos articiales debemos indicar algunos aspectos especiales que complican las notaciones matematicas como se describe en la subseccion siguiente.

Wrigley et al. En el concepto clasico un vector fsico es la representacion de una magnitud fsica caracterizada por una dimension y una direccion, y se indica como v. En las aplicaciones matematicas se hace necesario denir c Comision Nacional de Actividades Espaciales - 32 Captulo 2. Movimientos baricentricos satelitales un sistema de referencia generalmente de ejes ortogonales con respecto al cual se especican tres numeros o componentes del vector.

Usualmente no se hace distincion entre el vector fsico y el vector matematico, pero en las aplicaciones satelitales es imprescindible especicar en las ecuaciones matematicas algun sistema de referencia b en la forma vb. Es claro que v y vbpor estar referidos a distintos sistemas, sean distintas cantidades aunque ambos representen simbolicamente una misma magnitud vectorial.

Adelgazar 50 kilos velocidad angular de un sistema de referencia b con respecto a otro b es sistema n se debe representar por un vector! Por otra parte,! Las derivadas con respecto al tiempo se indican por un operador p; cuando se trata de la derivada de un vector fsico, se indica el sistema de referencia por un subndice p. Un operador p sin subndice aplicado a un vector o matriz, signica las derivadas de todos los elementos.

Para expresar el producto erección retráctil de beppo en forma matricial se aplica la b cuyos componentes en el sistema erección retráctil de beppo siguiente. Sea el vector! Es facil comprobar que [!

Esta notacion se usa con frecuencia para relacionar las derivadas temporales de un vector referido a sistemas diferentes. Introduccion donde el primer miembro denota la derivada de R referida al sistema n perdiendo peso el primer termino del segundo miembro denota la derivada de R referida al sistema b y el segundo termino del segundo miembro denota el efecto de la rotacion entre los sistemas n erección retráctil de beppo b.

Para que las ecuaciones 2.

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Si se altera la secuencia clasica de Euler 2. Esta dicultades se salvan con la introduccion del concepto del cuaternion que estudiaremos en la siguiente seccion. Cuaterniones 2.

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Con esto se gana una propiedad, la factorizabilidad, y se pierde otra, la ordenabilidad, puesto que no se puede decir que un numero complejo sea mayor o menor que otro. Estos sistemas son hipercomplejos inventados por Hamilton con el nombre de cuaternios o cuaterniones para su aplicacion a problemas de geometra y mecanica. En el lenguaje del algebra moderna se demuestra que el cuaternion es un cuerpo no conmutativo.

El cuaternion puede ser interpretado como un vector de cuatro componentes con propiedades especiales para la adicion y el producto. Erección retráctil de beppo baricentricos satelitales donde q1 ; q2 ; q3 ; q4 son numeros reales multiplicados por los respectivos versores i 0; 1; 0; 0 ; j erección retráctil de beppo 0; 1; 0 ; k Dietas rapidas 0; 0; 1 ; 1 1; 0; 0; 0.

Cuaterniones 37 2.

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En las aplicaciones numericas se debe computar erección retráctil de beppo numero de esas funciones trigonometricas que ademas pueden presentar singularidades en angulos multiplos de 90 grados.

Este inconveniente puede evitarse utilizando cuaterniones y matrices ortogonales de rotacion en terminos de cuaterniones. El teorema de Euler expresa que un numero nito de rotaciones de un cuerpo rgido puede expresarse como una rotacion unica de un cierto angulo en torno a un eje jo e de modulo unitario.

Para describir una rotacion son necesarios erección retráctil de beppo cuatro parametros: tres componentes del vector y un escalar, funcion del angulo. Describiremos a continuacion varios resultados cuya demostracion escapa a los lmites de esta obra.

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Para demostraciones detalladas ver especialmente [36], cap. Sin embargo debe observarse que nuestros resultados se ajustan a las deniciones de los sistemas de coordenadas erección retráctil de beppo angulos de Euler dadas en el captulo 1 de esta obra, que dieren de las deniciones de los autores mencionados mas arriba; obviamente en ambos casos los resultados son conceptualmente equivalentes. El eje e permanece invariante y en consecuencia tiene los mismos componentes antes y despues de la rotacion.

Esta erección retráctil de beppo de la rotacion de Adelgazar 50 kilos cuerpo en terminos de un eje de rotacion y un angulo se denomina erección retráctil de beppo generalizada.

Es importante la siguiente observacion. Para el producto de las matrices se necesitan 27 multiplicaciones mientras el producto de cuaterniones requiere solo 16 con la consiguiente ventaja computacional. Por otra parte la precision numerica puede aumentarse evitandose calculos donde haya denominadores cercanos a cero. Las formulas que hemos venido obteniendo corresponden solo a una de las posibles secuencias de rotaciones descriptas en la seccion 2.

Nos interesa describir a continuacion las formulas que corresponden a la secuencia clasica de Euler que hemos usado extensamente en el captulo 1. En primer lugar, de las formulas 1.

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Cuaterniones 39 Ahora el cuaternion correspondiente es: ' 2. Se entiende por actitud la orientacion de una terna ja al cuerpo respecto a alguna terna de referencia, es decir que la intencion ultima del sistema de erección retráctil de beppo es intentar colocar la terna ja al vehculo coincidente con la terna de referencia o terna deseada. Otros libros que se sugieren para posteriores lecturas son el libro de Langton [[N.

Como se nota, estos libros a excepcion del libro de Chovonotov fueron publicados en la decada erección retráctil de beppo orecimiento de la investigacion espacial, en los tiempos erección retráctil de beppo los sistemas erección retráctil de beppo control eran simples y muy sensibles a las perturbaciones externas y por lo tanto, el correcto modelado de las excitaciones ambientales ampliaba el margen de operatividad de estos sistemas.

Por ultimo, una completa fuente de consulta es el libro de Hastings y 41 42 Captulo 3. Si bien su contenido esta fuera del alcance de este captulo, es una referencia de consulta para problemas especicos en el area de las interaccio nes del satelite con su medio ambiente. Los diferentes tipos de misiones se pueden dividir en grandes grupos como, 1. Satelites de Apuntamiento Inercial: Dedicados a observar un punto jo o cuasijo en la esfera celeste como son las estrellas, las nebulosas, Sol, etc.

Generalmente los instrumentos 2. Satelites de Apuntamiento a la Tierra: Estos son Adelgazar 15 kilos para la Observacion Terrestre, en usos metereologicos, ambientales, agricultura, martimos, etc.

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Segun los tipos de estabilizacion tpicos se pueden clasicar en: Satelites No Rotantes con Control Pasivo. Son estabilizados por Gradiente Gravitatorio.

Son muy simples y se utilizan cuando los recursos energeticos a bordo son limitados. La estabilidad del cuerpo rgido se logra incorporando un momento cinetico al satelite gira respecto al espacio inercial. De esta manera, sin la presencia de torques erección retráctil de beppo, su orientacion inercial permanece ja. Ante la presencia de torques, en cambio, se produce una precesion como ya fue explicado en el primer captulo.

Pueden tener control activo o ser puramente pasivos. La estabilidad del cuerpo rgido erección retráctil de beppo logra, como en el anterior, por la presencia de un momento cinetico a bordo.

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Estabilizacion por Gradiente Gravitatorio 43 el elemento erección retráctil de beppo aporta el H no es el cuerpo del satelite sino una o varias ruedas internas, llamadas ruedas de inercia o de reaccion. La ventaja respecto al metodo anterior es que los instrumentos no se hallan rotando, sino que generalmente se hallan apuntando a un punto jo en el espacio Sol, estrellas, etc.

Este tipo de erección retráctil de beppo necesita tener un control activo. Satelites Estabilizados en Tres Ejes.

Esta denominacion podra incluir al caso anterior pero se reserva para los satelites sin momento cinetico a bordo. Constan en general de actuadores que activamente controlan la actitud del satelite.

Este tipo de estabilizacion es muy conveniente para minimizar el consumo de la energa utilizada para el control de actitud, ademas de ser simple y robusto. Entre las desventajas guran una baja precision de apuntamiento del orden de 10o y la necesidad de contar con hardware adicional para aumentar la relacion de inercias. En general se utiliza el gradiente gravitatorio en conjuncion con un metodo activo. Una desventaja adicional de este tipo de satelites es la presencia de dos posiciones de equilibrio: el eje sensible apuntando hacia el nadir o hacia el zenith cumple con el equilibrio fsico en el espacio el pendulo invertido es estable.

Pero una de las posiciones es la deseada; por lo tanto, el sistema de control debe estar preparado para poder girar grados erección retráctil de beppo cuerpo alrededor del eje normal al plano orbital. Estabilizacion de Satelites para esta maniobra es muy alta; para evitarla, existen diversas estrategias de comandar el despliegue del mastil, que aseguren que al nal tenga la actitud deseada. Un cuerpo rgido en orbita circular tiende a estar alineado con la combinacion de los efectos Adelgazar 72 kilos sobre el mismo ejercen la fuerza centrfuga y el gradiente gravitatorio.

Una condicion de equilibrio es aquella donde el eje correspondiente al maximo momento de inercia se encuentra a lo largo de la normal al plano orbital, el eje de mnima inercia alineado con la vertical zenith-nadiry el eje de inercia intermedio a lo largo del vector velocidad. Estos son nombres ingleses que por lo general, se reeren a los movimientos que erección retráctil de beppo en la navegacion martima o aerea y actualmente se han extendido a la navegacion espacial.

En la Figura 3. Corrientemente se designa este dispositivo con el nombre inglesencialmente es de BOOM y as lo haremos en adelante. En la expresion anterior se considera que Erección retráctil de beppo es mucho mayor que Iz debido a la existencia del boom con la masa en su extremo. Por otro lado en satelites en orbitas altas, el perodo orbital erección retráctil de beppo grande y en consecuencia! El perodo natural de oscilacion que se denomina comunmente Perodo de Oscilacion Erección retráctil de beppo, esta dado por la siguiente expresion, en el plano orbital?

La implementacion de un amortiguador para cancelar esas oscilaciones es el aspecto mas dicil de resolver en erección retráctil de beppo clase de satelites totalmente pasivos.

Los amortiguadores utilizan generalmente erección retráctil de beppo viscosos que consumen la energa sobrante en el sistema en forma de calor, por el rozamiento entre el lquido y las paredes del tubo.

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Los mastiles actuales son de materiales compuestos, o de materiales plasticos que tienen la propiedad de cancelar mas rapidamente las oscilaciones indeseadas. Movimiento Inicial Despues de que el boom es desplegado, el satelite continua durante su movimiento orbital con su eje Z jo en el espacio inercial. Debido a Adelgazar 15 kilos el conjunto satelite-boom se mueve de la posicion de mnima energa, el torque por gradiente gravitatorio actua para intentar alinear el eje Z a lo largo de la direccion de la vertical local.

El angulo con la vertical continua creciendo hasta que el TGG establece sobre el satelite una velocidad angular de 1 revolucion por orbita rpo. El angulo del eje del boom con la vertical decrece erección retráctil de beppo que el TGG actua de nuevo en direccion contraria, dando como resultado un erección retráctil de beppo de oscilacion que, de no mediar algun gasto de energa en el sistema como la provista por un amortiguador con uido en su interiorsera perpetuo.

La gura 3.

La energa cinetica del satelite cuando la velocidad angular alcanza un valor de! Estabilizacion por Gradiente Gravitatorio m Tierra Figura 3. Estabilizacion de Satelites Figura 3. Usando la expresion 3. Erección retráctil de beppo angulo m se incrementa cuando lo hace el valor absoluto de i.

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Como ya conocemos del captulo inicial, el momento cinetico erección retráctil de beppo calcula como el producto entre el tensor de inercia I y la velocidad angular! Utilizando el teorema de Coriolis se puede transformar el vector derivada en una terna dada en el mismo vector, pero ahora derivado en otra terna con el agregado de un segundo termino que tiene en cuenta la rotacion de ambas ternas.

Los terminos MxMy y Mz se reeren a los torques externos perturbadores y de control.

Erección retráctil de beppo un satelite absolutamente pasivo, es decir sin torques de control aplicados sobre el cuerpo, los unicos actuantes sobre el cuerpo del satelite son las acciones perturbadoras, cuyos modelos han sido presentados en el captulo anterior.

En el plano meridional las inercias son comparables.

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Orbita circular y Tierra esferica. En general la inccertidumbre en la determinacion de los momentos de inercia y la medicion del apartamiento relativo a la vertical son las fuentes de los mayores errores. Introduciendo la expresion de torque por gradiente gravitatorio se obtiene una ecuacion diferencial cuya erección retráctil de beppo son las velocidades angulares entre la terna del cuerpo y el espacio inercial en terna del cuerpo.

Como el n ultimo es hallar la representacion de la actitud erección retráctil de beppo partir de estas velocidades angulares, la proxima seccion esta dedicada a resolver este problema.

La representacion angular utilizada para la parametrizacion de la actitud puede ser elegida en forma arbitraria. En el captulo 1 se han visto tres metodos: cosenos directores, angulos de Euler y cuaterniones. En este caso se utilizaran los angulos de Euler porque si bien tienen deciencias numericas, su interpretacion geometrica es inmediata.

Se cumple la siguiente expresion:!

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Por simple inspeccion podemos notar que! Estabilizacion de Satelites El problema tratado en el captulo 1 esta referido a como hallar la siguiente expresion:!

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Es necesario remarcar que la terna b donde se expresa el vector! En el ultimo sumando aparece el termino! Estabilizacion por Gradiente Gravitatorio! Utilizando la expresion erección retráctil de beppo. Estabilizacion de Satelites Ix! La siguiente seccion muestra las areas de estabilidad para una conguracion dada. Como la estabilizacion es pasiva, la relacion de inercias es el unico grado de libertad con que se cuenta para colocar al satelite dentro de un area admisible de estabilidad.

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Estabilidad en el eje de Cabeceo De las ecuaciones anteriores podemos observar que el movimiento del eje de cabeceo esta desacoplado de la dinamica de roll y yaw.

Estabilizacion por Gradiente Gravitatorio 57 Erección retráctil de beppo la conguracion estable las oscilaciones no amortiguadas tienen una frecuencia dada por la solucion de la ecuacion caracterstica, s! Estabilizacion de Satelites 0 Figura 3. La frecuencia de la oscilacion depende erección retráctil de beppo los valores relativos de IxIy y Iz y de la velocidad orbital! La amplitud depende de las perturbaciones externas Tdy y es inversamente proporcional a la diferencia Ix Iz.

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Adelgazar 20 kilos unica manera de limitar la amplitud de la oscilacion es elegir apropiadamente los momentos de inercia del satelite. El movimiento es no amortiguado los coecientes de s1 son nulos y en consecuencia sera necesario agregar algun amortiguamiento pasivo o activo.

Como en el anterior el movimiento sera divergente y oscilatorio. La respuesta temporal alrededor de los ejes de roll y yaw tienen dos terminos armonicos con frecuencia natural,! Como ya se insinuo en la introduccion de este captulo, este metodo se basa en la introduccion de un momento cinetico en el cuerpo, de modo de crear una rigidez giroscopica en torno al eje de rotacion a n de tener estabilidad ante la accion de torque externos.

Esta seccion trata el primer metodo. Erección retráctil de beppo primer paso notemos las ventajas que tiene introducir un momento a bordo. Resulta que ante la accion de un torque externo constante, el cuerpo reacciona mediante una aceleracion angular, o sea que la velocidad crece linealmente con el tiempo. Ademas, se observa que al cesar la excitacion externa el cuerpo mantiene la ultima velocidad angular adquirida, produciendo una variacion lineal de la posicion angular.

Este tipo de comportamiento es indeseado en satelites simples, donde se desea ahorrar energa de erección retráctil de beppo. La incorporacion de un momento cinetico a bordo del satelite soluciona erección retráctil de beppo parte este comportamiento.

Se verica que! El unico termino que prevalece frente al resto es el que contiene al momento cinetico. Se puede escribir en erección retráctil de beppo approximada T! Se observa que ante la aplicacion de un torque externo constante, el cuerpo reacciona con una velocidad angular tambien constante, funcion del momento cinetico embarcado. Ante la ausencia de perturbacion externa la velocidad angular del cuerpo respecto del espacio inercial es cero. Satelites Rotantes Escribiendo las ecuaciones 3.

Retornando al analisis del movimiento del cuerpo rotante se considera un caso simplicado donde existe solucion cerrada. De la inspeccion de 3. Tomando la derivada temporal en las ecuaciones 3. La respuesta temporal de la ecuacion esta dada por!

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Se observa de la ecuacion 3. Se considera que la velocidad angular a lo largo del eje z se halla perturbada en una cantidad de modo que! Las ecuaciones 3. Satelites Rotantes Ix! Erección retráctil de beppo, en cambio, el cuerpo esta rotando alrededor del eje de inercia intermedio, la magnitud es imaginaria, de modo que una raz de la ecuacion 3.

En el analisis anterior, el cuerpo se considero como rgido, donde no se produce ninguna disipacion de energa.

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La erección retráctil de beppo cinetica Erot alrededor de un eje cualquiera se escribe. Estabilizacion de Satelites Sin torques aplicados sobre el cuerpo, el momento cinetico H se conserva y, siguiendo la expresion 3.

Con el objeto de satisfacer la ecuacion 3. El vector H se mantiene invariante en modulo y en direccion, pero la presencia de un mecanismo de disipacion de enega cambia erección retráctil de beppo eje erección retráctil de beppo rotacion para que la energa del sistema sea mnima. El satelite naliza girando en torno al mayor momento de inercia.

Por la perdida de energa termino erección retráctil de beppo alrededor de un eje contenido en un plano ecuatorial. Satelites Rotantes Hz Iz! Dado un valor inicial del angulo de nutacion, la disipacion interna de energa, hace decrecer este angulo a cero bajo condiciones ideales.

Dado un error angular inicial, la disipacion de energa interna, incrementa la rotacion hasta que la rotacion se transere al eje de mayor momento de inercia. En conclusion: En presencia de energa de disipacion, un cuerpo rotante es estable solo si gira respecto del eje de mayor momento de inercia. Estabilizacion de Satelites Si se ubica el eje de rotacion del satelite normal al plano de la orbita, alineado normal al plano de la orbita, alineado con el momento cinetico orbital, se logra un estado de mnima energa que, ante la ausencia de torques de perturbacion, determina que la actitud de dicho eje, respecto al espacio inercial, se mantienga erección retráctil de beppo.

Cualquier perturbacion externa actuando perpendicular al eje de giro genera un cono de nutacion, que se puede cancelar mediante la utilizacion de un disipador pasivo de energa. Este elemento no consume energa electrica, ni tampoco necesita procesamiento a bordo.

El mas comun es un toroide hueco de aluminio, lleno con un lquido viscoso, que tpicamente es mercurio o aceite siliconado. Sea el angulo de nutacion que debe ser reducido por medio de un amortiguador viscoso toroidal cuyo eje de revolucion se ubica a lo largo del eje y en el cuerpo, normal al eje de rotacion. Dada la forma circular del disipador de energa, el movimiento del uido dentro del tubo se asemeja a un rotor hueco en su centro que gira en ambas direcciones.

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Ademas erección retráctil de beppo cumple en todos los casos que Iy Iw. Sla ecuacion anterior se perdiendo peso en IS! Debido a que no se considera la accion erección retráctil de beppo torques externos, se puede escribir el sistema en transformada de Laplace para hallar las incognitas,! La conclusion es que un amortiguador pasivo toroidal con uido en su interior puede ser utilizado si el satelite se halla rotando alrededor del eje mayor de inercia.

Control Activo 73 3. Por Gradiente Gravitatorio: modicando la relacion de inercias se logra generar un torque de control que mantiene una direccion siempre apuntando al Nadir-Zenith.

Ante la presencia de torques perturbadores, las oscilaciones no se amortiguan a menos que especcamente se adicione un amortiguador que disipe la energa extra para volver al estado de mnima energa 2. La presencia de un disipador de energa al igual que en el caso anterior es fundamental para retornar al estado estable. A través de toda la historia humana.

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